Методы оптимизации перевозок грузов. Критерий оптимальности транспортной задачи В качестве критерия оптимальности транспортных перевозок

Расчетная работа № 4: ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из пунктов отправления (производства) в пунктов назначения (потребления) . При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через тарифы перевозки единицы груза из -го пункта отправления в -й пункт назначения, через - запасы груза в -м пункте отправления, через - потребности в грузе в -м пункте назначения, а через - количество единиц груза, перевозимого из -го пункта отправления в -й пункт назначения. Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы.

Составим математическую модель задачи.

(1)

при ограничениях

План , при котором функция (1) принимает своё минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Условие разрешимости транспортной задачи

Теорема: Для разрешимоститранспортной задачинеобходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребности в грузе в пунктах назначения, т. е чтобы выполнялось равенство

Модель такой транспортной задачи называется закрытой , или замкнутой , или сбалансированной , в противном случае модель называется открытой .

В случае вводится фиктивный- й пункт назначения с потребностью ; аналогично, при вводится фиктивный-й пункт отправления с запасом груза и соответствующие тарифы считаются равными нулю:. Этим задача сводится к обычной транспортной задаче. В дальнейшем будем рассматривать закрытую модель транспортной задачи.

Число переменных в транспортной задаче с пунктами отправления и пунктами назначения равно , а число уравнений в системе (2)-(4) - . Так как мы предполагаем выполнение условия (5), то число линейно независимых уравнений равно . Следовательно, опорный план может иметь не более отличных от нуля неизвестных. Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности , то план называется невырожденным , а если меньше - то вырожденным .

Построение первоначального опорного плана

Для определения опорного плана существует несколько методов: метод северо-западного угла (диагональный метод), метод наименьшей стоимости (минимального элемента ), метод двойного предпочтения и метод аппроксимации Фогеля .

Кратко рассмотрим каждый из них.

1.Метод северо-западного угла . При нахождении опорного плана на каждом шаге рассматривают первый из оставшихся пунктов отправления и первый из оставшихся пунктов назначения. Заполнение клеток таблицы условий начинается с левой верхней клетки для неизвестного («северо-западный угол») и заканчивается клеткой для неизвестного, т.е. как бы по диагонали таблицы.

2. Метод наименьшей стоимости. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую и в клетку , которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел и , затем из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую поставщику, запасы которого полностью израсходованы, либо столбец, соответствующий потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и строку и столбец, если израсходованы запасы поставщика и удовлетворены потребности потребителя. Из оставшейся части таблицы стоимостей снова выбирают наименьшую стоимость, и процесс размещения запасов продолжают, пока все запасы не будут распределены, а потребности удовлетворены.

3. Метод двойного предпочтения . Суть метода заключается в следующем. В каждом столбце отмечают знаком «√» клетку с наименьшей стоимостью. Затем то же проделывают в каждой строке. В результате некоторые клетки имеют отметку «√√». В них находится минимальная стоимость, как по столбцу, так и по строке. В эти клетки помещают максимально возможные объемы перевозок, каждый раз исключая из рассмотрения соответствующие столбцы или строки. Затем распределяют перевозки по клеткам, отмеченным знаком «√». В оставшейся части таблицы перевозки распределяют по наименьшей стоимости.

4. Метод аппроксимации Фогеля . При определении опорного плана данным методом на каждой итерации по всем столбцам и всем строкам находят разность между двумя записанными в них минимальными тарифами. Эти разности заносят в специально отведенных для этого строке и столбце в таблице условий задачи. Среди указанных разностей выбирают максимальную. В строке (или столбце), который данная разность соответствует, определяют минимальный тариф. Клетку, в которой он записан, заполняют на данной итерации.

Определение критерия оптимальности

С помощью рассмотренных методов построения первоначального опорного плана можно получить вырожденный или невырожденный опор-ный план. Построенный план транспортной задачи как задачи линейного программирования можно было бы довести до оптимального с помощью симплексного метода. Однако из-за громоздкости симплексных таблиц, со-держащих тп неизвестных, и большого объема вычислительных работ для получения оптимального плана используют более простые методы. Наиболее часто применяются метод потенциалов (модифицированный распредели-тельный метод).

Метод потенциалов .

Метод потенциалов позволяет определить отправляясь от некоторого опорного плана перевозок построить решение транспортной задачи за конечное число шагов (итераций).

Общий принцип определения оптимального пла-на транспортной задачи этим методом аналогичен принципу решения задачи линейного программирования симплексным методом, а именно: сначала на-ходят опорный план транспортной задачи, а затем его последовательно улучшают до получения оптимального плана.

Составим двойственную задачу

1. , - любые

3.

Пусть есть план

Теорема (критерий оптимальности):Для того чтобы допустимый план перевозок в транспортной задаче был оптимальным, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие числа , , что

Если. (7)

числа и называются потенциалами пунктов отправления и назначения соответственно.

Сформулированная теорема позволяет построить алгоритм нахождения решения транспортной задачи. Он состоит в следующем. Пусть одним из рассмотренных выше методов найден опорный план. Для этого плана, в ко-тором базисных клеток, можно определить потенциалы и так,чтобы выполнялось условие (6). Поскольку система (2)-(4) содержит уравнений и неизвестных, то одну из них можно задать произвольно (например, приравнять к нулю). После этого из уравнений (6) определяются остальные потенциалы и для каждой из свободных клеток вы-числяются величины . Если оказалось, что , то план оп-тимален. Если же хотя бы в одной свободной клетке , то план не яв-ляется оптимальным и может быть улучшен путем переноса по циклу, соот-ветствующему данной свободной клетке.

Циклом в таблице условий транспортной задачи, называется ломаная линия, вершины которой расположены в занятых клетках таблицы, а звенья - вдоль строк и столбцов, причем в каждой вершине цикла встречается ровно два звена, одно из которых находится в строке, а другое - в столбце. Если ломанная линия, образующая цикл, пересекается, то точки самопересечения не являются вершинами.

Процесс улучшения плана продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия если (7).

Пример решения транспортной задачи.

Задача. На четыре базы A 1 , A 2 , A 3 , A 4 поступил однородный груз в следующем количестве: а 1 тонн - на базу А 1 , а 2 тонн - на базу А 2 , а 3 тонн - на базу А 3 , а 4 тонн - на базу А 4 . Полученный груз требуется перевезти в пять пунктов: b 1 тонн - на базу B 1 , b 2 тонн - на базу B 2 , b 3 тонн - на базу B 3 , b 4 тонн - на базу B 4 , b 5 тонн - на базу B 5 . Расстояния между пунктами назначений указаны в матрице расстояний.

Стоимость перевозок пропорциональна количеству груза и расстоянию, на которое этот груз перевозится. Спланировать перевозки так, чтобы их общая стоимость была минимальной.

Решение. Проверим сбалансированность транспортной задачи, для этого необходимо чтобы

, .

1. Решим задачу диагональным методом или методом северо-западного угла.

Процесс получения плана можно оформить в виде таблицы:

Проектные параметры. Этим термином обозначают независимые переменные параметры, которые полностью и однозначно определяют решаемую задачу проектирования. Проектные параметры - неизвестные величины, значения которых вычисляются в процессе оптимизации. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы. Так, это могут быть неизвестные значения длины, массы, времени, температуры. Число проектных параметров характеризует степень сложности данной задачи проектирования. Обычно число проектных параметров обозначают через п, а сами проектные параметры через х с соответствующими индексами. Таким образом п проектных параметров данной задачи будем обозначать через

Х1,Х2,Х3,…Хп.

Следует отметить, что проектные параметры в некоторых источниках могут называться внутренними управляемыми параметрами.

Целевая функция. Это - выражение, значение которого инженер стремиться сделать максимальным или минимальным. Целевая функция позволяет количественно сравнить два альтернативных решения. С математической точки зрения целевая функция описывает некоторую (п+1) - мерную поверхность. Ее значение определяется проектными параметрами

М = М (х1,х2,…,хп).

Примерами целевой функции, часто встречающимися в инженерной практике, являются стоимость, вес, прочность, габариты, КПД. Если имеется только один проектный параметр, то целевую функцию можно представить кривой на плоскости (рис.1). Если проектных параметров два, то целевая функция будет изображаться поверхностью в пространстве трех измерений (рис.2). При трех и более проектных параметрах поверхности, задаваемые целевой функцией, называются гиперповерхностями и не поддаются изображению обычными средствами. Топологические свойства поверхности целевой функции играют большую роль в процессе оптимизации, так как от них зависит выбор наиболее эффективного алгоритма.

Рисунок 1. Одномерная целевая функция.

Рисунок 2. Двумерная целевая функция.

Целевая функция в ряде случаев может принимать самые неожиданные формы. Например, ее не всегда удается выразить в замкнутой математической форме, в других случаях она может представлять собой кусочно-линейную функцию. Для задания целевой функции иногда может потребоваться таблица технических данных (например, таблица состояния водяного пара) или может понадобиться провести эксперимент. В ряде случаев проектные параметры принимают только целые значения. Примером может служить число зубьев в зубчатой передаче или число болтов во фланце. Иногда проектные параметры имеют только два значения - да или нет. Качественные параметры, такие как удовлетворение, которое испытывает приобретший изделие покупатель, надежность, эстетичность, трудно учитывать в процессе оптимизации, так как их практически невозможно охарактеризовать количественно. Однако в каком бы виде ни была представлена целевая функция, она должна быть однозначной функцией проектных параметров.

В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. Примером служит проектирование самолетов, когда одновременно требуется обеспечить максимальную прочность, минимальный вес и минимальную стоимость. В таких случаях конструктор должен ввести систему приоритетов и поставить в соответствие каждой целевой функции некоторый безразмерный множитель. В результате появляется «функция компромисса», позволяющая в процессе оптимизации пользоваться одной составной целевой функцией.

Поиск минимума и максимума. Одни алгоритмы оптимизации приспособлены для поиска максимума, другие - для поиска минимума. Однако независимо от типа решаемой задачи на экстремум можно пользоваться одним и тем же алгоритмом, так как задачу минимизации можно легко превратить в задачу на поиск максимума, поменяв знак целевой функции на обратный. Этот прием иллюстрируется на рис.3.

Рисунок 3. При изменении знака целевой функции на противоположный в задаче на минимум, превращает ее в задачу на максимум.

Пространство проектирования. Так называется область, определяемая всеми п, проектными параметрами. Пространство проектирования не столь велико, как может показаться, поскольку оно обычно ограничено рядом условий, связанных с физической сущностью задачи. Ограничения могут быть столь сильными, что задача не будет иметь ни одного удовлетворительного решения. Ограничения делятся на две группы: ограничения - равенства и ограничения - неравенства.

Ограничения-равенства - это зависимость между проектными параметрами, которые должны учитываться при отыскании решения. Они отражают законы природы, экономики, права, господствующие вкусы и наличие необходимых материалов. Число ограничений - равенств может быть любым. Они имеют вид

С1 (X1, X2, Х3, . . ., Хп) = 0,

С2 (X1, X2, Х3, . . ., Х п) = 0,

..……………………………..

Сj(X1, X2, Х 3, . . ., Хп) = 0.

Ограничения-неравенства - это особый вид ограничений, выражаемых неравенствами. В общем случае их может быть сколько угодно много, причем все они имеют вид

z1 ?r1(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z1

z2 ?r2(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Z2

………………………………………

zk ?rk(X1, X2, Х3, . . ., Хп) ?Zk

Следует отметить, что очень часто в связи с ограничениями оптимальное значение целевой функции достигается не там, где ее поверхность имеет нулевой градиент. Нередко лучшее решение соответствует одной из границ области проектирования.

Прямые и функциональные ограничения. Прямые ограничения имеют вид

xнi ? xi ? xвi при i ? ,

где xнi , xвi - минимально и максимально допустимые значения i-го управляемого параметра; п - размерность пространства управляемых параметров. Например для многих объектов параметры элементов не могут быть отрицательными: xнi ? 0 (геометрические размеры, электрические сопротивления, массы и т.п.).

Функциональные ограничения, как правило, представляют собой условия работоспособности выходных параметров, не вошедших в целевую функцию. Функциональные ограничения могут быть:

• 1) типа равенств
• ш (Х) = 0; (2.1)
• 2) типа неравенств

ц (Х) › 0, (2.2)

где ш (Х) и ц (Х) - вектор-функции.

Прямые и функциональные ограничения формируют допустимую область поиска:

ХД = {Х | ш(Х) = 0, ц (Х)›0, xi › xнi ,

xi ‹ xвi при i ? }.

Если ограничения (2.1) и (2.2) совпадают с условиями работоспособности, то допустимую область называют также областью работоспособности ХР.

Любая из точек Х принадлежащая ХД является допустимым решением задачи. Часто параметрический синтез ставится как задача определения любого из допустимых решений. Однако гораздо важнее решить задачу оптимизации - найти оптимальное решение среди допустимых.

Локальный оптимум. Так называется точка пространства проектирования, в которой целевая функция имеет наибольшее значение по сравнению с ее значениями во всех других точках ее ближайшей окрестности. На рис.4 показана одномерная целевая функция, имеющая два локальных оптимума. Часто пространство проектирования содержит много локальных оптимумов и следует соблюдать осторожность, чтобы не принять первый из них за оптимальное решение задачи.

Рисунок 4. Произвольная целевая функция может иметь несколько локальных оптимумов.

Глобальный оптимум - это оптимальное решение для всего пространства проектирования. Оно лучше всех других решений соответствующих локальным оптимумам, и именно его ищет конструктор. Возможен случай нескольких равных глобальных оптимумов, расположенных в разных частях пространства проектирования. Это позволяет выбрать наилучший вариант из равных оптимальных вариантов по целевой функции. В данном случае проектировщик может выбрать вариант интуитивно либо на основе сравнения полученных вариантов.

Выбор критериев. Основная проблема постановки экстремальных задач заключается в формулировке целевой функции. Сложность выбора целевой функции состоит в том, что любой технический объект первоначально имеет векторный характер критериев оптимальности (многокритериальность). Причем улучшение одного из выходных параметров, как правило, приводит к ухудшению другого, так как все выходные параметры являются функциями одних и тех же управляемых параметров и не могут изменяться независимо друг от друга. Такие выходные параметры называют конфликтными параметрами.

Целевая функция должна быть одна (принцип однозначности). Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной называют сверткой векторного критерия. Задача поиска его экстремума сводится к задаче математического программирования. В зависимости от того каким образом выбираются и объединяются выходные параметры, в скалярной функции качества, различают частные, аддитивные, мультипликативные, минимаксные, статистические критерии и другие критерии. В техническом задании на проектирование технического объекта указываются требования к основным выходным параметрам. Эти требования выражаются в виде конкретных числовых данных, диапазона их изменения, условия функционирования и допустимых минимальных или максимальных значений. Требуемые соотношения между выходными параметрами и техническими требованиями (ТТ) называют условиями работоспособности и записываются в виде:

yi < TTi , i О ; yi > TTj , j О ;

yr = TTr ± ?yr; r О .

где yi, yj, yr - множество выходных параметров;

TTi, TTj, TTr - требуемые количественные значения соответствующих выходных параметров по техническому заданию;

Yr - допустимое отклонение r-го выходного параметра от указанного в техническом задании значения TTr.

Условия работоспособности имеют определяющее значение в разработке технических устройств, так как задачей проектирования является выбор проектного решения, в котором наилучшим образом выполняются все условия работоспособности во всем диапазоне изменения внешних параметров и при выполнении всех требований технического задания.

Частные критерии могут применяться в случаях, когда среди выходных параметров можно выделить один основной параметр yi(Х), наиболее полно отражающий эффективность проектируемого объекта. Этот параметр принимают за целевую функцию. Примерами таких параметров являются: для энергетического объекта - мощность, для технологического автомата - производительность, для транспортного средства - грузоподъемность. Для многих технических объектов таким параметром служит стоимость. Условия работоспособности всех остальных выходных параметров объекта относят при этом к функциональным ограничениям. Оптимизация на основе такой постановки называется оптимизацией по частному критерию.

Достоинство такого подхода - его простота, существенный недостаток - то, что большой запас работоспособности можно получить только по основному параметру, который принят в качестве целевой функции, а другие выходные параметры вообще не будут иметь запасов.

Взвешенный аддитивный критерий применяют тогда, когда условия работоспособности позволяют выделить две группы выходных параметров. В первую группу входят выходные параметры, значения которых в процессе оптимизации нужно увеличивать y+i(X) (производительность, помехоустойчивость, вероятность безотказной работы и т. п.), во вторую - выходные параметры, значения которых следует уменьшать y-i (X) (расход топлива, длительность переходного процесса, перерегулирование, смещение и пр.). Объединение нескольких выходных параметров, имеющих в общем случае различную физическую размерность, в одной скалярной целевой функции требует предварительного нормирования этих параметров. Способы нормирования параметров будут рассмотрены ниже. Пока будем считать, что все у(Х) безразмерны и среди них нет таких, которым соответствуют условия работоспособности типа равенства. Тогда для случая минимизации целевой функции свертка векторного критерия будет иметь вид

где aj>0 - весовой коэффициент, определяющий степень важности j-го выходного параметра (обычно aj выбираются проектировщиком и в процессе оптимизации остаются постоянными).

Целевую функцию в форме (2.1), выражающую аддитивный критерий, можно записать и в том случае, когда все или основные условия работоспособности имеют вид равенств. Тогда целевая функция

определяет среднеквадратичное приближение yj(X) к заданным техническим требованиям TTj.

Мультипликативный критерий может применяться в тех случаях, когда отсутствуют условия работоспособности типа равенств и выходные параметры не могут принимать нулевые значения. Тогда минимизируемая мультипликативная целевая функция имеет вид

Одним из наиболее существенных недостатков как аддитивного, так и мультипликативного критерия является неучет в постановке задачи технических требований, предъявляемых к выходным параметрам.

Критерий формы функции используют, когда ставится задача наилучшего совпадения заданной (эталонной) характеристики yТТ(Х,щ) с соответствующей выходной характеристикой y(Х,щ) проектируемого объекта, где щ - некоторая переменная, например частота, время, избранная фазовая переменная. К таким задачам относятся: проектирование системы автоматического регулирования, обеспечивающей требуемый вид переходного процесса по регулируемому параметру; определение параметров модели транзистора, дающих максимальное совпадение его теоретических вольт-амперных характеристик с экспериментальными; поиск параметров сечений балки, значения которых приводят к наилучшему совпадению заданной эпюры напряжений с расчетной, и т. п.

Использование частного критерия оптимизации в этих случаях сводится к замене непрерывных характеристик конечным множеством узловых точек и выбору одной из следующих целевых функций, подлежащих минимизации:

где р -- количество узловых точек щj на оси переменной щ; aj - весовые коэффициенты, значения которых тем больше, чем меньшее отклонение y(Х, щj) - yTT(Х, щj) нужно получить в j-и точке.

Максиминные (минимаксные) критерии позволяют достичь одной из целей оптимального проектирования - наилучшего удовлетворения условий работоспособности.

Введем количественную оценку степени выполнения j-го условия работоспособности, обозначим ее через zj и будем называть запасом работоспособности параметра yj. Расчет запаса по j-му выходному параметру можно выполнить различными способами, например,

где аj - весовой коэффициент; yjном - номинальное значение j-го выходного параметра; дj - величина, характеризующая разброс j -го выходного параметра.

Здесь предполагается, что все соотношения сведены к виду yi < TТj. Если yi > TТj , то -yj < -TТj . Следует принимать аj >1 (рекомендуемые значения 5 ? аj ? 20), если желательно достичь выполнения j-го технического требования с заданным допуском, т. е. yj = TТj ± ?yj; aj=l, если необходимо получить максимально возможную оценку zj.

Качество функционирования технической системы характеризуется вектором выходных параметров и, следовательно, вектором Z=(zm,zm,…,zm). Поэтому целевую функцию следует формировать как некоторую функцию ц(Z) вектора оценок. Например, если в качестве целевой функции рассматривается запас только того выходного параметра, который в данной точке X является наихудшим с позиций выполнения требований ТЗ, то

где m - количество запасов работоспособности.

Естественно теперь поставить задачу о выборе такой стратегии поиска X, которая максимизировала бы минимальный из запасов, т. е.

где ХД - допустимая для поиска область.

Критерий оптимизации с целевой функцией (2.6) называют максиминным критерием.

Статистические критерии. Оптимизация при статистических критериях имеет целью получение максимальной вероятности Р выполнение работоспособности. Эту вероятность принимают в качестве целевой функции. Тогда имеем задачу

Нормирование управляемых и выходных параметров. Пространство управляемых параметров - метрическое. Поэтому при выборе направлений и величин шагов поиска необходимо вводить ту или иную норму, отождествляемую с расстоянием между двумя точками. Последнее предполагает, что все управляемые параметры имеют одинаковую размерность или являются безразмерными.

Возможны различные способы нормирования. В качестве примера рассмотрим способ логарифмического нормирования, достоинством которого является переход от абсолютных приращений параметров к относительным. В этом случае i-и управляемый параметр ui преобразуется в безразмерный хi следующим образом:

где оi - коэффициент, численно равный единице параметра ui .

Нормирование выходных параметров можно выполнить с помощью весовых коэффициентов, как в аддитивом критерии, или переходом от уj к запасам работоспособности zj по (2.5).

Выбор критерия зависит от: характера проблемы, наличной информации и требуемой точности нахождения оптимума.
Примерами локального критерия оптимальности транспортной задачи могут служить:
а) критерий минимума суммарного пробега (пригоден только для решения закрытых транспортных задач в пределах одного вида транспорта);
б) при оптимизации перевозок в пределах года обычным стоимостным критерием является сумма зависящих приведенных расходов:
C = Эзав + Эпер + Еп (К пс + C гр),
где Эзав - зависящие от движения эксплуатационные расходы,
Кпс - капитальные вложения в подвижной состав,
Сгр - стоимость грузов, находящихся в процессе перевозки,
Эпер - издержки по перевалкам;
в) при составлении оптимальных схем перевозок на перспективу возможно усиление пропускной способности линий в зависимости от размещения на них оптимальных грузопотоков. Поэтому в критерии оптимальности учитывается:
Кпост - затраты на необходимое развитие пропускной способности по по-стоянным устройствам,
Энез - независящие эксплуатационные расходы.
Тогда
C = Эзав + Энез + Еп(Кпс + Кпост + Cгр) ;
477
г) в некоторых случаях при решении открытых транспортных задач допускается использование в качестве критерия суммы издержек производства и та-рифных плат за перевозки;
д) в отдельных задачах по оптимизации срочных перевозок в качестве критерия выступает время: тонно-часы (вагоны-часы) пребывания груза в процессе перевозки или общее время завершения определенной перевозочной операции.
Из многих методов решения матричных задач наиболее распространенными являются: метод потенциалов (Л. А. Канторович и М.В. Говурин) и метод условно-оптимальных планов (А. Л. Лурье).
Метод условно-оптимальных планов относится к методам сокращения невязок:
в начальном варианте допускается нарушение основных ограничений транспортной задачи
X Xij = Bj (j = 1, 2, ... л); X Xij = Ai (i = 1, 2, ... m);
i j
допущенные невязки и разбалансировки устраняются путем внесения ряда поправок.
Основные этапы метода условно-оптимальных планов можно рассмотреть на примере некоторой транспортной задачи (см. табл. 17.1), требующей увязать ресурсы трех поставщиков А1, А2, A3 (строки табл. 17.1) с потребностями че-тырех потребителей В1^В4 (столбцы табл. 17.1). В правых верхних углах клеток матрицы показаны стоимости перевозки Су единицы груза от поставщика и потребителя Вj - оптимальное решение будет получено за четыре этапа реше-ния, которые называют приближениями задачи и также показаны в табл. 17.1.
Пример решения матричной транспортной задачи методом условно-оптимальных планов Номер прибли-жения Поставщик и Потребитель и его потребность, Bj Сумма по-ставок Разба-лансы Л,- его ресурс, ЛІ B 7 B2 9 B3 9 B4 5 ^xij J J A1 10 10/12 7 12/14 9 9/11 15/17 5 21 -11 1 A2 10 1 14
Г 20 8 9 50 9 +1 A3 10 12 15 20 25 0 +10 Aj 12-10=2 15-12=3 - 25-15=10 A1 10 12/13 4/15 9 11/12 17/18 5 14 -4 2 A2 10 14 1 20 8 9 50 9 +1 A3 10 12 7 15 20 25 7 +3 Aj - 1 - 8 A1 10 і ^ 13/15 5/17 6 2/14 8/20 5 11 -1 3 A2 10 14 1 20 8 9 50 9 +1 A3 10 2/14 7 15/17
3 20/22 25/27 10 -0 Aj 14-12=2 20-15=5 - 50-18=32 Aj 10 15 17 5 14 20 5 10 +0 4 A2 10 14 1 20 8 9 50 10 +0 A3 10 14
6 17 4 22 27 10 +0
Каждый этап решения состоит из 9-ти шагов (пунктов). 1. Построение начального варианта.
В столбцах 3-6 матрицы (табл. 17.1) находится клетка с минимальной стоимостью:
Сkj = min Cjj.
В эту клетку заносится поставка, равная полной потребности столбца:
Xkj = BJ.
При наличии нескольких клеток с минимальной стоимостью поставка Bj распределяется между ними произвольно.
В табл. 17.1 для первого, второго и четвертого столбцов минимальные стоимости обнаружены в первой строке (10, 12, 15), для третьего столбца - во второй (8).
Определение сумм поставок и невязок.
Находятся суммы поставок по каждой строке Z Xij и разности между ре-
J
сурсами поставщиков и предусмотренными поставками:
RI = 4 -z XIJ.
j
Разности Rj называются невязками или разбалансами. Так, в таблице, в приближении № 1 разбалансы показаны в последнем столбце и равны для трех поставщиков соответственно -11, +1, +10.
Проверка наличия отрицательных разбалансов.
Отсутствие отрицательных разбалансов говорит об оптимальности найденного варианта решения. В приближении № 1 табл. 17.1 первая строка имеет отрицательный разбаланс -11, поэтому поиск оптимального решения будет продолжен.
Классификация строк.
Строка i считается абсолютно недостаточной, если ее разбаланс отрицательный, и абсолютно избыточной, если разбаланс - положительный. При R = 0 строки классифицируются на относительно избыточные и относительно недостаточные согласно примечанию, которое будет указано ниже. В приближении № 1 (табл. 17.1) 1-я строка абсолютно недостаточная, 2-я и 3-я строки - абсолютно избыточные.
Преобразование матрицы стоимостей. Включает в себя следующие действия:
а) в каждом столбце, имеющем поставку в недостаточной строке, находится минимальная из стоимостей на пересечении с избыточными строками:
С rj = min Cj;
I gU ,
где U - множество абсолютно и относительно избыточных строк.
Например, в приближении № 1 в 1-м столбце наименьшая стоимость по избыточным строкам:
С r1 = min (14, 12) = 12.
Во 2-м столбце наименьшая стоимость по избыточным строкам Cr2 = min (20, 15), в 4-м - Cr4 = min (50, 25) = 25. В 3-м столбце Cr1 min по избыточным строкам не определяется, так как этот столбец не имеет поставки в единственной недостаточной 1-й строке;
б) в каждом столбце, имеющем поставку в недостаточной строке, определяется разность между минимальной стоимостью по избыточным строкам и минимальной стоимостью по столбцу в целом:
A j = C rj - C kj .
Значение Aj фиксируется во вспомогательной строке (строкаj в табл. 17.1).
Например, в приближении № 1 в 1-м столбце Aj = 12-10 = 2, во 2-м Aj = 15- = 12 = 3, в 4-м столбце Aj = 15-15 = 10. В 3-м столбце значение A3 не определено, так как поставка находится в избыточной строке;
в) находится наименьшее значение из всех Aj:
A = min Aj, которое прибавляется по всем стоимостям во всех недостаточных строках.
Так, для приближения № 1 получаем:
A = min (2, 3, 10) = 2.
Все стоимости в недостаточной 1-й строке увеличиваются на A = 2, в остальных не меняются. Значения стоимостей на этом этапе решения показываются дробью в правом верхнем углу клеток в недостаточных строках, причем в числителе дроби - первоначальное значение стоимости, в знаменателе - обновленное в соответствии с шагом 5 алгоритма решения задачи.
6. Нахождение связей строк, возникших в результате преобразования стоимостей в пункте 5.
Строка S считается связанной со строкой t при соблюдении 2-х условий:
а) в каком-либо столбце d имеется совпадение стоимостей
С sd = Ctd ;
б) в клетке sd имеется поставка
Xsd > 0.
481
При этих условиях существует направленная связь клеток:
sd ^ td.
При ручном выполнении расчетов связи удобно показывать стрелками на матрице.
Смысл понятия связи строк следующий. В рассматриваемом методе допустимыми для поставок являются клетки матриц с минимальными по столбцу стоимостями. После изменения стоимостей в матрице появляется новая допустимая клетка (иногда несколько), в которую может быть перенесена часть поставки из недостаточной строки.
Связь строк указывает возможное направление переноса поставки. Так, в приближении № 1 после изменения стоимостей в 1-й строке клетка 3.1 стала допустимой. Это означает возможность переноса поставки из клетки 1.1 в клетку 3.1, т.е. наличие связи между этими строками.
Нахождение последовательности (цепи) связей между абсолютно недостаточной и любой избыточной строками.
Цепь может состоять из одной или несколько связей и возникает после исполнения пункта 6. В нее всегда входит вновь образованная в этом пункте связь, начиная от которой удобно вести поиск цепи.
Например, в приближении № 3 новая связь появилась между клетками 3.1 и 2.1; от прежнего цикла (приближения) осталась связь клеток 1.2 и 3.2. Цепь от абсолютно недостаточной 1-й строки до избыточной 2-й строки проходит по клеткам 1.2-3.2 и 3.1-2.1. В приближении № 1 цепь состоит лишь из одной связи 1.1-3.1, так как эта связь начинается в абсолютно недостаточной и кончается в избыточной строке.
Определение величины переноса поставок AX, выполняемого одновременно по всем связям найденной цепи.
Эта величина равняется наименьшему из следующих чисел:
абсолютному значению разбаланса в недостаточной строке, где цепь начинается;
разбалансу в избыточной строке, где цепь кончается;
значению поставок во всех клетках, где начинаются связи, входящие в цепь:
нч
X
AX = min
/R /. R
нач кон
нч
где Xij - поставки в нечетных клетках цепи, если переписать их в порядке от недостающей строки к избыточной,
^нач, ^кон, - невязки в строках, где начинается и кончается цепь переноса поставок.
Например, величина переноса по цепи, найденной в приближении № 1, равна
AX = min (11, 10, 7) = 7, а по цепи, найденной в приближении № 3 -
AX = min (1,1,6,7) = 1.
9. Перенос поставок.
Найденное значение AX вычитается из поставок во всех нечетных по порядку клетках цепи и добавляется к поставкам во всех четных. В результате получается новый вариант плана, либо оптимальный, либо с меньшей по модулю суммой отрицательных разбалансов, чем предыдущий вариант. Далее метод условно-оптимальных планов предполагает переход к шагу 2 и циклическое продолжение шагов алгоритма до тех пор, пока в пункте не обнаружится, что отрицательных разбалансов больше нет и найденное решение оптимально.
Так, в приближении № 1 переносится 7 единиц поставок из клетки 1.1 в клетку 3.1 и происходит переход к приближению № 2.
При выполнении пункта 9 в приближении № 2 переносятся 3 единицы поставок из клетки 1.2 в клетку 3.2, и происходит переход к приближению № 3. В приближении № 3 единицы поставок переносятся из клетки 1.2 в клетку 3.2 и из клетки 3.1 - в клетку 2.1. Полученное в результате приближение № 4 после проверки на шаге 3 алгоритма решения оказывается оптимальным.
Решение матричной транспортной задачи с применением компьютеров позволяет использовать иной вариант метода условно-оптимальных планов - алгоритм дифференциальных рент, при котором переносы поставок по связям не делаются, а вместо этого на каждом цикле расчета все поставки распределяются заново по допустимым клеткам (с наименьшими по столбцу стоимостями, учитывая ранее выполненные изменения стоимости).
Для решения сетевых транспортных задач широко применяется метод потенциалов, который основан на свойстве потенциальности оптимального плана.
Пусть имеется некоторая схема потоков однородного ресурса (груза, порожних вагонов) по транспортной сети с ограниченной пропускной способностью звеньев. Пропускную способность звена r-s в направлении к s обозначим drs. Все звенья в зависимости от наличия потока х^ данного груза делятся на три категории:
базисные с потоками
пустые без потока данного груза xrs=0;
насыщенные xrs=drs.
Рассматривается однопродуктовая задача.
В многопродуктовой задаче насыщенными являются звенья с суммой потоков всех грузов, равной пропускной способности.
Если схема потоков оптимальна, всем вершинам сети могут быть присвоены потенциалы U, удовлетворяющие следующим условиям:
для базисных звеньев Us - Ur = Crs, (17.7)
где Crs - расстояние или издержки (в зависимости от используемого критерия) перевозки единицы груза от r до s;
для пустых звеньев Us - Ur для насыщенных звеньев Us - Ur > Crs.
Равенство Us - Ur = Crs во всех случаях допустимо и не противоречит оптимальности схемы. Нарушение условий (17.7) и (17.8), т.е. Us - Ur> Crs для пустого звена и Us - UrПри решении сетевой задачи вначале разрабатывается исходная схема потоков. Затем ведется циклический расчет по улучшению плана. Каждый цикл включает в себя присвоение потенциалов вершинам, проверку условий (17.7) и (17.8) и замещение схемы потоков.
1. Построение начального плана.
Начальная схема потоков должна удовлетворять следующим требованиям:
а) соблюдение условия баланса для всех вершин сети:
Z Xks -Z Xrk = Rk ;
(сдача) (прием) +погрузка выгрузка
б) непревышение пропускной способности звеньев, поток Xrs в) отсутствие замкнутых контуров, образованных базисными звеньями с потоками 0 Желательно построить начальную схему без явных нерациональностей (встречностей, кружностей), что позволит сократить число вводимых впоследствии поправок.
2. Присвоение потенциалов всем вершинам сети.
Какой-либо вершине, к которой примыкает хотя бы одно базисное звено, присваивается произвольный потенциал (число одного порядка с наибольшей дальностью перевозок). Затем присваиваются потенциалы остальным вершинам сети, следуя по всем базисным звеньям и используя равенство Us-Ur = Crs. При потоке от R^S вершине S присваивается потенциал Us=Ur+Crs (где Crs - длина звена). Если поток следует от S к R, то потенциал определяется по следующей формуле: Us=Ur - Crs.
Е -6
В этом случае имеющихся базисных звеньев недостаточно для присвоения потенциалов всем вершинам. Тогда вводятся n-1 нулевые потоки, связывающие между собой отдельные системы базисных звеньев. Звенья с нулевыми потоками считаются базисными и используются для присвоения потенциалов.
485
В процессе присвоения потенциалов может обнаружиться так называемый случай вырождения: совокупность (граф) базисных звеньев распадается на n несвязанных между собой систем. На рис. 17.10 показаны две такие системы: В-А-Г и Д-Б-Е.
В задаче с ограничениями пропускной способности компоненты базисного графа могут быть отделены друг от друга не только пустыми, но и насыщенными звеньями. Тогда вводятся условные нулевые резервы пропускной способности на некоторых насыщенных звеньях, которые далее считаются базисными.
3. Проверка соблюдения условий (17.7 и 17.8) на всех пустых и насыщенных звеньях сети.
280
200
+29
Если эти условия соблюдаются везде, то задача решена и план оптимален. При наличии нарушений-невязок Ну выбираем участок с наибольшей невязкой и переходим к пункту 4. На рис.17.11 показан начальный вариант плана сетевой транспортной задачи с ограничениями пропускной способности звеньев. Вершинам сети присвоены потенциалы. Проверка нужна для пустых звеньев А-Е, Е-Д и насыщенного звена Г-Д. Остальные звенья - базисные. Длины звеньев в направлении «туда» и «обратно» совпадают.
Условие 17.7 нарушено на звене А-Е: Ve - Ua = 440 - 220 = 220 > Cae = 200; Нае = 220 - 200 = 20. Условие (17.8) нарушено на звене Г-Д: Ud - Ur = 330 - 280 = 50 4. Поиск пути по базисным звеньям между вершинами-концами звена с невязкой.
Совокупность этого пути и звена с невязкой называется контуром. Для начального варианта на рисунке 17.11 контур составляют звенья Г-Д, Д-Ж, Ж-Б и Б-Г. Для второго варианта (см. рис. 17.12) в контур входят звенья А-Е, Е-В, В-Ж, Ж-Д, Д-Г, Г-А, для третьего варианта (см. рис. 17.13) контур состоит из звеньев Б-Ж, Ж-Б, В-Е, Е-А, А-Г и Г-Б.
280
200
+29 240
280
200
Дальнейшее действие зависит от того, является ли звено с невязкой пустым или насыщенным.
Классификация потоков контура.
а) Устанавливается направление потока на звене с невязкой от меньшего потенциала к большему;
б) все другие потоки в контуре делятся на попутные и встречные этому потоку. Так, для начального варианта (рис. 17.11) звенья Г-Д и Б-Г - попутные, а
Д-Ж и Ж-Б - встречные, во втором варианте (рис. 17.12) звенья А-Е, В-Ж, Ж-Д - попутные, а Е-В, Д-Г и Г-А - встречные, в третьем варианте (рис. 17.13) Б-Ж, В-Е, А-Г - попутные, а ЖБ, БА, ГБ - встречные.
Определение изменения потоков АХ. Изменение потоков:
а) для пустого звена с невязкой:

АХ = min[ min X; min(d - x)], где d - пропускная способность звена.
Следовательно, поправка равна меньшей из двух величин: наименьшего встречного потока и наименьшего свободного остатка пропускной способности для попутных потоков;
б) для насыщенного звена с невязкой (в точности обратное правило):
> AX = min[ min X; min(d - x)], т.е. берутся наименьший попутный поток и наименьший из резервов пропускной способности для встречных потоков. При использовании правил (17.9) и (17.10) звено с невязкой учитывается в числе попутных. Для начального варианта величина изменения потоков АХ1 определится как минимальное из следующих величин:
AX1 = min[(20,8, (16 -11), (10 - 6)] = 4, так как звено с невязкой - пустое.
Для второго варианта величина изменения потоков АХ2 определится следующим образом:
AX2 = min[(15,16,22, 30, (16 -14), (16 -15)] = 1, так как звено с невязкой - насыщенное.
Для третьего варианта величина изменения потоков АХ3 определится так:
AX3 = min[(10,14,21, (16 -15), (30 -1)(30 - 4)] = 1, так как звено с невязкой - насыщенное.
7. Исправление плана.
а) при исправлении невязки на пустом звене потоки по всем попутным звеньям контура (включая звенья с невязкой) увеличиваются на АХ, а по встречным - уменьшаются на АХ;
б) при исправлении невязки на насыщенном звене, наоборот, потоки на всех попутных звеньях контура уменьшаются, а на встречных увеличиваются на АХ.
В расчете получается новый вариант плана, для которого заново определяются потенциалы, проверяется наличие невязок и т.д. (т.е. от пункта 7 переходим к пункту 2). Расчет заканчивается, когда в пункте 3 не будет обнаружено ни одной невязки, что и происходит в 4-м варианте решения, которое является оптимальным и показано на рис. 17.14.
200
Решение сетевой транспортной задачи непосредственно не содержит значений поставок по корреспонденциям, а дает лишь схему потоков по участкам. Поставки по корреспонденциям должны быть получены исходя из этой схемы, причем одной и той же оптимальной схеме потоков часто соответствует много вариантов поставок, равноценных по значению критерия оптимальности.
Такие равноценные оптимальные варианты называются альтернативными оптимумами. Например, в варианте на рис. 17.13 груз, прибывший от Б к Г, может быть выгружен в Г или направлен далее к Д в составе потока 15 единиц по участку Г-Д. При наличии альтернативных оптимумов из них можно выбрать более удобный или выгодный по соображениям, не учтенным в критерии оптимальности. Простота и наглядность нахождения большого числа альтернативных оптимумов является одним из преимуществ сетевой постановки транспортной задачи.

Следует различать критерий оптимизации и показатели оптимальности планов грузовых перевозок. Критерий оптимизации должен отражать сущность народнохозяйственного подхода к его выбору с учетом стратегии экономической политики государства в области транспорта. Выбор показателей оптимизации, отражающих различные стороны глобального народнохозяйственного критерия оптимизации, является сложной задачей.

Все транспортные задачи оптимального прикрепления пунктов назначения к пунктам отравления, практически реализуемые в оптимальных схемах грузопотоков, решаются по показателю расстояния перевозки исходя из минимума грузооборота. Целевая функция Fс транспортной задачи имеет при этом вид:

Fс = min хij lij, (1)

где m, n - число пунктов соответственно отправления и назначения;

хij - размер перевозок грузопотока по каждой корреспонденции между пунктами олтправления и назначения, т;

lij - расстояние перевозки по каждой корреспонденции грузопотока, км.

В результате исследований, выполненных И. В. Беловым, было доказано, что оптимизация планов перевозок грузов по минимуму тонно-километров не отражает основных характеристик народнохозяйственного критерия оптимальности и, следовательно, не позволяет получить действительно оптимальный план.

Кратчайшее расстояние как показатель оптимальности заведомо непригоден при оптимизации планов грузовых перевозок на различных взаимодействующих видах транспорта, т.e. при составлении комплексных оптимальных схем грузопотоков на сети разных видов путей сообщения.

При оптимизации планов грузовых перевозок кратчайшее направление по затратам также не всегда является наивыгоднейшим. Суть в том, что на величину затрат по направлениям перевозок оказывает влияние не только расстояние (дальность), но и ряд других эксплуатационно-технических и социально-экономических факторов. Комплексными показателями, в которых наилучшим образом могут быть отражены все важнейшие характеристики народнохозяйственного критерия оптимизации при разработке планов грузовых перевозок, являются стоимостные показатели. Их использование при решении транспортных задач оптимизации полностью соответствует современным требованиям повышения качества планирования и регулирования перевозок.

В соответствии с основной концепцией оптимизации, обоснованной МИИТом, в условиях наличия резервов пропускной и провозной способности в качестве показателя оптимальности при текущем планировании перевозок экономически целесообразнее использовать минимум зависящих от объема перевозок эксплуатационных расходов, т.е. минимум себестоимости перевозок в части зависящих расходов. Целевая функция транспортной задачи в этом случае будет иметь вид:

Fс = min хij С зав ij, (2)

где С зав ij- себестоимость перевозок грузов по каждой корреспонденции грузопотока в части зависящих расходов, к/т.

В соответствии с переходной концепцией оптимизации в условиях отсутствия резервов пропускной и провозной способности стоимостные показатели текущего планирования перевозок оказываются тоже неприемлемыми. Задача оптимизации в данном случае должна решаться не на минимум текущих затрат, а на максимум результатов в уровне удовлетворения потребностей производства в перевозках. Этим целям наилучшим образом отвечает показатель оптимизации -минимум времени доставки грузов, т.е.

Fс = min хij tij, (3)

где tjj - время доставки грузов по каждой корреспонденции грузопотока, ч.

Данный показатель оптимальности, будучи простым, наилучшим образом отвечает условиям оптимизации перевозок скоропортящихся грузов, так как он одновременно обеспечивает минимум народнохозяйственных издержек (включая потери грузов) при перевозке.

В условиях перехода транспорта на рыночные отношения должна, очевидно, получить широкое распространение оптимизация планов перевозок исходя из минимума тарифных плат, когда целевая функция имеет вид

Fс = min хij С тар ij, (4)

где С тар ij - доходная тарифная ставка при перевозке грузов для каждой корреспонденциигрузопотока, к/т.

Ранее считалось, что план по минимуму тонно-километров и план по минимуму тарифных плат совпадают, так как грузовые тарифы построены исходя из принципа кратчайших расстояний перевозок. Но это утверждение не совсем верное, так как тарифная плата взимается каждый раз не за конкретное кратчайшее расстояние перевозки, а за среднее расстояние данного тарифного пояса. Тарифные же пояса, особенно на дальних расстояниях, меняются в большом диапазоне.

Очевидно, что при возможной и целесообразной в рыночных условиях хозяйствования территориальной дифференциации тарифов, а также при более глубокой дифференциации их в зависимости от уровня качества перевозок оптимальные планы перевозок по минимуму тонно-километров и минимуму тарифных плат будут еще более не совпадать.

Следует иметь в виду еще одно немаловажное обстоятельство. Оптимизация транспортных связей по минимуму тарифных плат означает минимизацию доходов транспорта, что может отрицательно сказаться на его прибыли и рентабельности, т.е. на хозрасчетных интересах транспорта. Некоторые специалисты утверждают, что оптимизация планов перевозок по этому показателю вообще неприемлема, так как она заведомо ставит транспорт в неравное экономическое положение по сравнению с другими отраслями народного хозяйства. Напрашивается серьезное возражение на этот довод. Доходы транспорта - это одновременно и тарифные транспортные расходы народного хозяйства, к экономии которых мы должны постоянно стремиться, устраняя разного рода нерациональные перевозки и связанные с ними непроизводительные расходы. Таким образом, в условиях развития рыночных отношений оптимизация планов перевозок по минимуму тарифных плат должна иметь более широкую сферу применения. Но при этом она должна перейти из области транспорта как такового в область материально-технического снабжения как оптимизация планов поставок.

Приведенные затраты как показатель оптимальности могут быть использованы при решении транспортных задач на сети путей сообщения разных взаимодействующих видов транспорта в условиях как текущего, так и перспективного планирования и регулирования работы, а также на одном виде транспорта для перспективных условий планирования и регулирования работы с развитием пропускной способности. Целевая функция оптимального плана здесь может быть выражена двояко: без учета стоимости грузовой массы в пути, если нет существенных различий во времени доставки грузов на взаимодействующих видах транспорта:

Fс = min хij (сij + Ен кij), (5)

с учетом стоимости грузовой массы в пути, когда взаимодействующие виды транспорта существенно отличаются по времени доставки грузов:

Fс = min хij (сij + Ен (кij + mij), (6)

где кij - удельные капиталовложения в подвижной состав и постоянные устройства по каждой корреспонденции грузопотока, к/т;

mij - удельная стоимость грузовой массы в пути по каждой корреспонденции грузопотока, к/т.

При выборе стоимостных показателей для целей оптимизации перевозок грузов необходимо обеспечить наибольшую полноту учета в этих показателях всех составляющих их элементов затрат и потерь, меняющихся в зависимости от изменения условий перевозочного процесса по конкретным транспортно-экономическим связям между пунктами отправления и назначения грузов. Еще в конце 60-х и в 70-х годах указывалось, что в необходимых случаях, в особенности при перевозке с участием разных видов транспорта, нужно дополнительно учитывать потери, связанные с несохранностью груза. При этом имелись в виду те случаи, когда различия в размерах потерь по видам транспорта или вариантам плана прикрепления потребителей к поставщикам на данном виде транспорта существенно влияют на выбор действительно оптимального плана перевозок.

Аналогичные суждения высказывались специалистами применительно к задаче оптимизации топливно-энергетического баланса страны и определению роли в нем каменного угля. Утверждалось, что правильное решение задачи оптимизации возможно в том случае, если формирование экономической информации по топливу проводится на основе сопоставимых и сравнимых показателей по всем стадиям общественного производства по идентичной методологии и на основе одинаковых методических предпосылок. При этом особенно важно точно учесть затраты, обусловленные потерями топлива в процессе перевозки.

Потери топлива включаются в себестоимость транспортирования только по нефте- и газопроводам, а также линиям электропередачи. Потери угля в процессе перевозки в полной мере не учитываются и, как правило, не отражаются в экономических расчетах. Это приводит к тому, что представления о степени экономичности того или иного вида транспорта оказываются искаженными. Чтобы снять искажения, вызванные несопоставимостью стоимостных показателей при оптимизации топливно-энергетического баланса страны, в этих показателях нужно учесть потери соответствующих грузов.

В некоторых работах ученых-экономистов отмечалась необходимость учета при оптимизации транспортно-экономических связей не только качества перевозок, но и качества самой перевозимой народнохозяйственной продукции, ее потребительских свойств. В данном случае речь идет об отражении в стоимостном показателе оптимальности не только потерь перевозимых грузов, но и различий в ассортиментном и качественном их составе. Имеется в виду, что оптимизация перевозок взаимозаменяемой продукции разного ассортимента и качества при соизмеримом учете ее потребительских свойств (ходимости автомобильных шин, калорийности топлива, доли питательных веществ в удобрениях, железа в руде и т.п.) даст оптимальный план, существенно отличающийся от оптимального плана, составленного без учета указанных различий.

Экономико-математическая модель задачи оптимизации с учетом потребительских свойств взаимозаменяемой продукции была реализована в конкретных решениях, в частности в работе НИИМС (авторы Е. П. Нестеров, В. А. Скворцова и др.). В работах МИИТа установлено, что при разработке оперативных текущих и перспективных оптимальных планов перевозок на железнодорожном транспорте в стоимостных показателях оптимальности должны непременно учитываться потери многих грузов и особенно скоропортящихся, сыпучих и навалочных. При решении комплексных транспортных задач оптимизации перевозок для любого периода и планирования с участием двух и более взаимодействующих видов транспорта потери необходимо включать в стоимостные показатели оптимальности для всех групп грузов в соответствии с классификацией. Различия, если таковые имеются, в потребительских свойствах и качестве взаимозаменяемых грузов должны отражаться через соответстующие цены их в стоимости грузовой массы в пути. Функционалы оптимального плана в общем виде могут быть выражены: без учета стоимости грузовой массы в пути

Fс = min хij (сij + Енкij + у пэ ij), (7)

с учетом стоимости грузовой массы в пути

Fс = min хij (сij + Ен (кij + mij + у пэ ij), (8)

где у пэ ij - удельная величина текущих потерь грузов в стоимостном измерении по каждой корреспонденции грузопотока, к/т.

Оптимизация перевозок грузов с учетом их потерь практически может быть осуществлена лишь после перехода к разработке простых или комплек-сных оптимальных схем грузопотоков по стоимостным показателям оптималь-ности - текущим и приведенным затратам. Очень важной задачей при этом является заблаговременная подготовка достоверной нормативной экономичес-кой информации для расчета потерь при перевозке грузов.

При перевозке скоропортящихся грузов потери их, как правило, намного, а нередко в несколько раз, превышают собственно затраты на перевозку. Поэтому представляется возможным оптимизировать текущие и оперативные планы перевозок скоропортящихся грузов исходя из минимума текущих потерь при обязательном выполнении заданных сроков доставки грузов. Можно утверждать, что оптимальный план по минимуму потерь совпадает с оптималь-ным планом по минимуму времени доставки скоропортящихся грузов. Целевая функция данного оптимального плана такова:

Fс = min хij у пэ ij. (9)

Однако следует иметь в виду, что практическое использование стоимост-ных показателей оптимальности для решения транспортных задач и составле-ния оптимальных схем грузопотоков сопряжено с большими трудностями. Дело в том, что предварительный расчет поучастковых показателей затрат весьма сложен. Эти показатели неустойчивы во времени в связи с постоянными изме-нениями условий и факторов, влияющих на величину затрат. Исходные данные для расчета отдельных составляющих стоимостных показателей оптимальности не всегда обеспечивают необходимую достоверность результатов.

Избыток провозных возможностей увеличивает затраты на перевозки и себестоимость продукции. Критерием оптимальности предлагается принять минимальные потери, с одной стороны - от недоиспользования подвижного состава, с другой - потери грузополучателей от несвоевременной доставки.

Всякий грузопоток характеризуется четырехиндексным числом: пунктом производства, пунктом потребления груза, классом груза и временем доставки груза потребителю. Чтобы доставить всю произведенную продукцию от места производства до места потребления, провозные возможности транспорта должны быть не меньше величины грузопотока.

Известно, что провозные возможности подвижного состава - вероятностная величина, на которую оказывают влияние множество факторов: дорожные и климатические условия, вид и возрастной состав подвижного состава, квалификация водителя, соответствие производственно-технической базы мощности парка и др. Поэтому в отдельные моменты величины грузопотока могут превышать провозные возможности подвижного состава и часть грузов своевременно не будет доставлена к месту потребления.

Следовательно, основным условием своевременной перевозки грузов к месту их потребления является превышение провозной возможности подвижного состава по сравнению с грузопотоком.

Общая постановка транспортной задачи состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из т пунктов отправления в п пунктов назначения . При этом в качестве критерия оптимальности обычно берется либо минимальная стоимость перевозок всего груза, либо минимальное время его доставки. Рассмотрим транспортную задачу, в качестве критерия оптимальности которой взята минимальная стоимость перевозок всего груза. Обозначим через тарифы перевозки единицы груза из i -го пункта отправления в j -й пункт назначения, через – запасы груза в i -м пункте отправления, через – потребности в грузе в j – м пункте назначения, а через – количество единиц груза, перевозимого из i -го пункта отправления в j -й пункт назначения. Тогда математическая постановка задачи состоит в определении минимального значения функции

при условиях

(64)

(65)

(66)

Поскольку переменные удовлетворяют системам уравнений (64) и (65) и условию неотрицательности (66), обеспечиваются доставка необходимого количества груза в каждый из пунктов назначения, вывоз имеющегося груза из всех пунктов отправления, а также исключаются обратные перевозки.

Определение 15.

Всякое неотрицательное решение систем линейных уравнений (64) и (65), определяемое матрицей , называется планом транспортной задачи.

Определение 16.

План , при котором функция (63) принимает свое минимальное значение, называется оптимальным планом транспортной задачи.

Обычно исходные данные транспортной задачи записывают в виде таблицы 21.

Таблица 21

Очевидно, общее наличие груза у поставщиков равно , а общая потребность в грузе в пунктах назначения равна единиц. Если общая потребность в грузе в пунктах назначения равна запасу груза в пунктах отправления, т. е.

то модель такой транспортной задачи называется закрытой. Если же указанное условие не выполняется, то модель транспортной задачи называется открытой.

Теорема 13.

Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были равны потребностям в грузе в пунктах назначения, т. е. чтобы выполнялось равенство (67).

В случае превышения запаса над потребностью, т. е. вводится фиктивный (n +1)–й пункт назначения с потребностью и соответствующие тарифы считаются равными нулю: Полученная задача является транспортной задачей, для которой выполняется равенство (67).

Аналогично, при вводится фиктивный (m +1)–й пункт отправления с запасом груза и тарифы полагаются равными нулю: Этим задача сводится к обычной транспортной задаче, из оптимального плана которой получается оптимальный план исходной задачи. В дальнейшем будем рассматривать закрытую модель транспортной задачи. Если же модель конкретной задачи является открытой, то, исходя из сказанного выше, перепишем таблицу условий задачи так, чтобы выполнялось равенство (67).

Число переменных в транспортной задаче с т пунктами отправления и п пунктами назначения равно пт , а число уравнений в системах (64) и (65) равно п+т . Так как мы предполагаем, что выполняется условие (67), то число линейно независимых уравнений равно п+т – 1. Следовательно, опорный план транспортной задачи может иметь не более п + т – 1 отличных от нуля неизвестных.

Если в опорном плане число отличных от нуля компонент равно в точности п +т – 1, то план является невырожденным, а если меньше – то вырожденным.

Как и для всякой , оптимальный план транспортной задачи является и опорным планом.

Для определения оптимального плана транспортной задачи можно использовать изложенные выше методы.

Пример 19.

Четыре предприятия данного экономического района для производства продукции используют три вида сырья. Потребности в сырье каждого из предприятий соответственно равны 120, 50, 190 и 110 ед. Сырье сосредоточено в трех местах его получения, а запасы соответственно равны 160, 140, 170 ед. На каждое из предприятий сырье может завозиться из любого пункта его получения. Тарифы перевозок являются известными величинами и задаются матрицей

Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

Решение. Обозначим через количество единиц сырья, перевозимого из i –го пункта его получения на j –е предприятие. Тогда условия доставки и вывоза необходимого и имеющегося сырья обеспечиваются за счет выполнения следующих равенств:

(68)

При данном плане перевозок общая стоимость перевозок составит

Таким образом, математическая постановка данной транспортной задачи состоит в нахождении такого неотрицательного решения системы линейных уравнений (68), при котором целевая функция (69) принимает минимальное значение.

Программа для решения транспортной задачи методом потенциалов