В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движущейся точки вместо самого количества движения рассматривают его момент относительно какого-либо центра или оси. Эти моменты определяются также как и моменты силы.
Моментом количеством движения материальной точки относительно некоторого центра О называется вектор, определяемый равенством
Момент количества движения точки называют также кинетическим моментом .
Момент количества движения относительно какой-либо оси , проходящий через центр О, равен проекции вектора количества движения на эту ось .
Если количество движения задано своими проекциями на оси координат и даны координаты точки в пространстве, то момент количества движения относительно начала координат вычисляется следующим образом:
Проекции момента количества движения на оси координат равны:
Единицей измерения количества движения в СИ является – .
Теорема об изменении момента количества движения точки.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.
Доказательство: Продифференцируем момент количества движения по времени
, 
, следовательно , (*)
что и требовалось доказать.
Теорема. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какой-либо оси, равна моменту действующей на точку силы относительно той же оси.
Для доказательства достаточно спроектировать векторное уравнение (*) на эту ось. Для оси это будет выглядеть так:
Следствия из теорем:
1. Если момент силы относительно точки равен нулю, то момент количества движения относительно этой точки величина постоянная.
2. Если момент силы относительно оси равен нулю, то момент количества движения относительно этой оси величина постоянная.
Работа силы. Мощность.
Одна из основных характеристик силы, оценивающих действие силы на тело при некотором его перемещении.
Элементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.
Единицей измерения работы в СИ является –
При при 
Частные случаи:
Элементарное перемещение равно дифференциалу радиуса вектора точки приложения силы.
Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на элементарное перемещение или на дифференциал радиуса вектора точки приложения силы.
Элементарная работа силы равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.
Если сила задана своими проекциями () на оси координат и элементарное перемещение задано своими проекциями () на оси координат, то элементарная работа силы равна:
(аналитическое выражение элементарной работы).
Работа силы на любом конечном перемещении равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы.
Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. В общем случае мощность равна первой производной по времени от работы.
, 
Мощность равна скалярному произведению силы на скорость.
Единицей измерения мощности в СИ является –
В технике за единицу силы принимается 
.
Пример 1. Работа силы тяжести.
Пусть точка М, на которую действует сила тяжести Р, перемещается из положения 
в положение . Выберем оси координат так, чтобы ось была направлена вертикально вверх.
Тогда, , , и
Работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.
Пример 2. Работа силы упругости.
Рассмотрим материальную точку закрепленную на упругом элементе жесткости с, которая совершает колебания вдоль оси х. Сила упругости (или восстанавливающая сила) . Пусть точка М, на которую действует только сила упругости, перемещается из положения в положение . ( , ).
Мощность пары сил равна
Кинетическая энергия точки
Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.
Момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра О равен векторному произведению радиуса-вектора движущейся точки на количество движения , т. е.
Очевидно, что модуль момента количества движения равен
где - плечо вектора v относительно центра О (рис. 167).
Проектируя векторное равенство (153) на координатные оси, проходящие через центр О, получаем формулы для моментов количества движения материальной точки относительно этих осей:
В векторной форме теорема о моменте количества движения выражается так: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра О равна моменту действующей силы относительно того же центра, т. е.
Проектируя векторное равенство (156) на какую-либо из координатных осей, проходящих через центр О, получаем уравнение, выражающее ту же теорему в скалярной форме:
т. е. производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей силы относительно той же оси.
Эта теорема имеет большое значение при решении задач в случае движения точки под действием центральной силы Центральной силой называется такая сила, линия действия которой все время проходит через одну и ту же точку, называемую центром этой силы. Если материальная точка движется под действием центральной силы F с центром в точке О, то
и, следовательно, . Таким образом, момент количества движения в данном случае остается постоянным по модулю и по направлению. Отсюда следует, что материальная точка под действием центральной силы описывает плоскую кривую, расположенную в плоскости, проходящей через центр силы.
Если известна траектория, которую описывает точка под действием центральной силы, то, пользуясь теоремой о моменте количества движения, можно найти эту силу как функцию расстояния от точки до центра силы.
Действительно, так как момент количества движения относительно центра силы остается постоянным, то, обозначая h плечо вектора относительно центра силы, имеем:
(158)
Для определения этой постоянной должна быть известна скорость точки в каком-либо месте траектории. С другой стороны, имеем (рис. 168):
где - радиус кривизны траектории, - угол между радиусом-вектором точки и касательной к траектории в этой точке.
Итак, имеем два уравнения (158) и (159) с двумя неизвестными v и F; остальные величины, входящие в эти уравнения, т. е. , являясь элементами заданной траектории, легко могут быть найдены. Таким образом, можно найти v и F как функции .
Пример 129. Точка М описывает эллипс под действием центральной силы F (рис. 169). Скорость в вершине А равна . Найти скорость в вершине В, если и .
Решение. Так как в данном случае
Пример 130. Точка М массы описывает окружность радиуса а, притягиваясь точкой А этой окружности (рис. 170).
В начальный момент точка находится в положении В и имеет скорость . Определить скорость v точки и силу притяжения F как функции радиуса-вектора .
момент количества движения
МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ (кинетический момент, момент импульса, угловой момент) мера механического движения тела или системы тел относительно какого-либо центра (точки) или оси. Для вычисления момента количества движения К материальной точки (тела) справедливы те же формулы, что и для вычисления момента силы, если заменить в них вектор силы на вектор количества движения mv, в частности K0 = . Сумма моментов количества движения всех точек системы относительно центра (оси) называется главным моментом количества движения системы (кинетическим моментом) относительно этого центра (оси). При вращательном движении твердого тела главный момент количества движения относительно оси вращения z тела выражается произведением момента инерции Iz на угловую скорость? тела, т.е. КZ = Iz?.
Момент количества движения
кинетический момент, одна из мер механического движения материальной точки или системы. Особенно важную роль М. к. д. играет при изучении вращательного движения. Как и для момента силы, различают М. к. д. относительно центра (точки) и относительно оси.
Для вычисления М. к. д. k материальной точки относительно центра О или оси z справедливы все формулы, приведённые для вычисления момента силы, если в них заменить вектор F вектором количества движения mv. Т. о., ko = , где r ≈ радиус-вектор движущейся точки, проведённый из центра О, a kz равняется проекции вектора ko на ось z, проходящую через точку О. Изменение М. к. д. точки происходит под действием момента mo(F) приложенной силы и определяется теоремой об изменении М. к. д., выражаемой уравнением dko/dt = mo(F). Когда mо(F) = 0, что, например, имеет место для центральных сил, движение точки подчиняется площадей закону. Этот результат важен для небесной механики, теории движения искусственных спутников Земли, космических летательных аппаратов и др.
Главный М. к. д. (или кинетический момент) механической системы относительно центра О или оси z равен соответственно геометрической или алгебраической сумме М. к. д. всех точек системы относительно того же центра или оси, т. е. Ko = Skoi, Kz = Skzi. Вектор Ko может быть определён его проекциями Kx, Ky, Kz на координатные оси. Для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью w, Kx = ≈ Ixzw, Ky = ≈Iyzw, Kz = Izw, где lz ≈ осевой, а Ixz, lyz ≈ центробежные моменты инерции. Если ось z является главной осью инерции для начала координат О, то Ko = Izw.
Изменение главного М. к. д. системы происходит под действием только внешних сил и зависит от их главного момента Moe. Эта зависимость определяется теоремой об изменении главного М. к. д. системы, выражаемой уравнением dKo/dt = Moe. Аналогичным уравнением связаны моменты Kz и Mze. Если Moe = 0 или Mze = 0, то соответственно Ko или Kz будут величинами постоянными, т. е. имеет место закон сохранения М. к. д. (см. Сохранения законы). Т. о., внутренние силы не могут изменить М. к. д. системы, но М. к. д. отдельных частей системы или угловые скорости под действием этих сил могут изменяться. Например, у вращающегося вокруг вертикальной оси z фигуриста (или балерины) величина Kz= Izw будет постоянной, т. к. практически Mze = 0. Но изменяя движением рук или ног значение момента инерции lz, он может изменять угловую скорость w. Др. примером выполнения закона сохранения М. к. д. служит появление реактивного момента у двигателя с вращающимся валом (ротором). Понятие о М. к. д. широко используется в динамике твёрдого тела, особенно в теории гироскопа.
Размерность М. к. д. ≈ L2MT-1, единицы измерения ≈ кг×м2/сек, г×см2/сек. М. к. д. обладают также электромагнитное, гравитационное и др. физические поля. Большинству элементарных частиц присущ собственный, внутренний М. к. д. ≈ спин . Большое значение М. к. д. имеет в квантовой механике.
Лит. см. при ст. Механика.
Билет 14
Вопрос 1
Под физическим маятником можно понимать любое тело, совершающее малые колебания относительно неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести.
Как опытным путем определить положение центра тяжести тела сложной формы относительно оси (расстояние ОС), рассматривалось в разделе “Статика”. По измеренному периоду колебаний этого тела можно определить его момент инерции относительно оси Oz, проходящей через точку О,
и относительно горизонтальной оси, проходящей через центр масс тела.
Интересно знать ещё и следующее. У колеблющихся физических тел на продолжении линии, проходящей через ось вращения и центр тяжести тела, существует точка, которую называют центром качаний.
Если тело заставить колебаться относительно оси, проходящей через центр качаний, то период колебаний этого тела будет точно таким же, как и при колебаниях относительно оси, проходящей через точку О.
Находится центр качаний (т. D на рисунке) на продолжении линии ОС ниже центра тяжести тела на расстоянии, которое принято называть приведенной длиной физического маятника.
Дадим этому понятию следующее определение.
Под приведенной длиной физического маятника понимается длина математического
Маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний физического маятника.
Приведенную длину маятника легко определить, приравняв выражения, из которых
определяются циклическая частота колебаний в каждом из случаев.
Вопрос 2
Кинетический момент точки и системы относительно центра и оси
Рассмотрим систему материальных точек с массами m 1 m 2 ....m n , имеющих в данный момент скорости v 1 v 2 .....v n относительно инерциальной системы отсчета. Выберем произвольный центр О (Рис.1). Кинетическим моментом точки m j относительно центра О называется вектор момента ее количества движения относительно этого центра.
K oj =m o (q j)=r j m j v j (j=1,2...n) (1)
Известно, что векторное умножение можно записать через присоединенную матрицу первого сомножителя- радиуса вектора r.
Опуская индекс j, запишем матричное выражение в осях xyz c началом в О:
K o =mRv (2)
где R- кососимметричная присоединенная матрица столбца r
= m =m (3)
Проекция кинетического момента на ось называются кинетическим моментом точки относительно оси . Он вычисляется либо аналитически по формулам (3), либо как момент силы относительно оси. Момент дает только касательная составляющая вектора q (Рис.2).
K Z = + q t h (4)
Момент обращается в ноль, если вектор количества движения (скорость точки) лежит в одной плоскости с осью (параллелен или пересекает ось)
Кинетическим моментом системы относительно центра О называется главный момент количеств движений точек системы относительно этого центра.
K o =SK oj =S m j r j v j (5)
Аналогично с формулой (3) проекции вектора (4) образуют столбец кинетических моментов относительно осей координат
=
Sm j 
(6)
Кинетическим моментом механической системы относительно полюса (оси) называют векторную (алгебраическую) сумму моментов количеств движения всех точек системы относительно этого же полюса О (той же оси)
(
) . (3.22)
Кинетический момент механической системы часто называют главным моментом количества движения системы соответственно относительно полюса или оси.
Если спроектировать кинетический момент из (3.22) на прямоугольные декартовы оси координат, то получим проекции кинетического момента на эти оси или кинетические моменты относительно осей координат
Если система материальных точек движется поступательно, то и, следовательно, .
Мы воспользовались свойством сочетательности векторного произведения относительно скалярного множителя и формулой для определения радиуса - вектора центра масс (2.4).
Таким образом, кинетический момент системы относительно полюса при поступательном движении равен моменту количества движения системы относительно этого полюса, при условии, что количество движения системы приложено в центре масс.
^ Кинетический момент твердого тела относительно оси вращения
Рис. 18
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (рис. 18). Выберем произвольную точку в твердом теле и вычислим кинетический момент этого тела относительно оси вращения. По определению кинетического момента системы относительно оси имеем
.
Но при вращении тела вокруг оси ,
причём количество движения точки - перпендикулярно отрезку и находится в плоскости, перпендикулярной оси вращения . Следовательно, момент количества движения относительно оси для точки
Для всего тела 
,
то есть . (3.24)
Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению угловой скорости тела на его момент инерции относительно оси вращения.
Билет 15
Вопрос 1
Согласно принципу возможных перемещений (основному уравнению статики), для того, чтобы механическая система, на которую наложены идеальные, стационарные, удерживающие и голономные связи, находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы в этой системе были равны нулю все обобщенные силы:
где Q j - обобщенная сила, соответствующая j - ой обобщенной координате;
s - число обобщенных координат в механической системе.
Если для исследуемой системы были составлены дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа II - го рода, то для определения возможных положений равновесия достаточно приравнять обобщенные силы нулю и решить полученные уравнения относительно обобщенных координат.
Если механическая система находится в равновесии в потенциальном силовом поле, то из уравнений (1) получаем следующие условия равновесия:
Следовательно, в положении равновесия потенциальная энергия имеет экстремальное значение. Не всякое равновесие, определяемое вышеприведенными формулами, может быть реализовано практически. В зависимости от поведения системы при отклонении от положения равновесия говорят об устойчивости или неустойчивости данного положения.
Равновесие механической системы, состояние механической системы, находящейся под действием сил, при котором все её точки покоятся по отношению к рассматриваемой системе отсчёта. Если система отсчёта является инерциальной (см. Инерциальная система отсчёта),равновесие называется абсолютным, в противном случае - относительным. Изучение условий Р. м. с. - одна из основных задач статики. Условия Р. м. с. имеют вид равенств, связывающих действующие силы и параметры, определяющие положение системы; число этих условий равно числу степеней свободы системы. Условия относительности Р. м. с. составляются так же, как и условия абсолютного равновесия, если к действующим на точки силам прибавить соответствующие переносные силы инерции. Условия равновесия свободного твёрдого тела состоят в равенстве нулю сумм проекций на три координатные оси Oxyz и сумм моментов относительно этих осей всех приложенных к телу сил, т. е.
При выполнении условий (1) тело будет по отношению к данной системе отсчёта находиться в покое, если скорости всех его точек относительно этой системы в момент начала действия сил были равны нулю. В противном случае тело при выполнении условий (1) будет совершать т. н. движение по инерции, например двигаться поступательно, равномерно и прямолинейно. Если твёрдое тело не является свободным (см. Связи механические), то условия его равновесия дают те из равенств (1) (или их следствий), которые не содержат реакций наложенных связей; остальные равенства дают уравнения для определения неизвестных реакций. Например, для тела, имеющего неподвижную ось вращения Oz, условием равновесия будет åm z (F k ) = 0; остальные равенства (1) служат для определения реакций подшипников, закрепляющих ось. Если тело закреплено наложенными связями жестко, то все равенства (1) дают уравнения для определённой реакции связей. Такого рода задачи часто решаются в технике.
На основании отвердевания принципа равенства (1), не содержащие реакций внешних связей, дают одновременно необходимые (но недостаточные) условия равновесия любой механической системы и, в частности, деформируемого тела. Необходимые и достаточные условия равновесия любой механической системы могут быть найдены с помощью возможных перемещений принципа. Для системы, имеющей s степеней свободы, эти условия состоят в равенстве нулю соответствующих обобщённых сил:
Q 1 = 0, Q 2 = 0, ×××, Q s = 0. (2)
Из состояний равновесия, определяемых условиями (1) и (2), практически реализуются лишь те, которые являются устойчивыми (см. Устойчивость равновесия). Равновесия жидкостей и газов рассматриваются в гидростатике и аэростатике.
Вопрос 2
Билет 18
для уравновешенной системы сил уже в соответствии с принципом возможных перемещений сумма виртуальных работ сил на любом возможном перемещении системы должна быть равна нулю.
Сформулировать записанное можно следующим образом.
В любой момент движения механической системы с идеальными связями сумма виртуальных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.
Это равенство принято называть
общим уравнением динамики или принципом Лагранжа-Даламбера.
Вопрос 2
“принцип возможных перемещений”.
Этот принцип считается наиболее общим условием равновесия или равномерного движения любой механической системы. Из него можно получить все аналитические условия равновесия тела под действием системы сил, рассматриваемые в разделе “Статика”.
Формулируется принцип следующим образом:
Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно,
чтобы сумма элементарных работ активных сил на любом возможном перемещении системы
была равна нулю.
Для доказательства необходимости этого условия равновесия любой находящейся в покое механической системы, разделим силы, действующие на любую точку системы, на заданные и силы реакции связей.
Билет 19
Вопрос 1
Приближенная теория гироскопа
Гироскопом называют тело, имеющее неподвижную точку и вращающееся вокруг оси материальной симметрии.
Предположим, что гироскоп вращается с угловой скоростью вокруг собственной оси симметрии. В этом случае кинетический момент
Это одна из важнейших характеристик при движении гироскопа.
В приближенной теории гироскопа принимают, что 1 << и кинетический момент гироскопа равен
Гироскоп с тремя степенями свободы
Гироскоп с тремя степенями свободы способен сопротивляться попытке изменения оси вращения гироскопа.
Рассмотрим гироскоп, у которого неподвижная точка совпадает с центром масс.
Рассмотрим сначала покоящийся гироскоп (= 0, L = 0). Если к гироскопу приложить силу , то очевидно, что гироскоп получит вращательное движение и упадет (т.е. ось гироскопа будет поворачиваться в плоскости чертежа).
Рассмотрим вращающийся (быстро) гироскоп. Прикладываем силу .
По теореме об изменении кинетического момента
Момент перпендикулярен к плоскости чертежа, тогда
Если к оси гироскопа прикладывается сила, то ось гироскопа смещается перпендикулярно действующей силе по направлению вращающего момента.
Если действие силы прекращается, то ось вращения гироскопа останавливается. ^ Говорят, что гироскоп способен противодействовать действию внешних сил.
Рассмотрим случай регулярной прецессии.
Имеется гироскоп, у которого центр масс не совпадает с неподвижной точкой.
На тело действует сила
Допустим OC = h , тогда
Отметим :
Под действием силы тяжести ось гироскопа будет вращаться вокруг вертикальной оси z . Такое явление называется регулярной прецессией.
Введем угловую скорость 1 – это угловая скорость, с которой ось гироскопа вращается вокруг оси z , ее еще называют “угловая скорость прецессии”.
Движение юлы – очень хороший пример движения гироскопа.
Гироскоп с тремя степенями свободы находит широкое применение в современных системах ориентирования (гирокомпас, гирогоризонт …).
ОБОБЩЁННЫЕ КООРДИНАТЫ
независимые параметры qi (i=1, 2, ..., s) любой размерности, число к-рых равно числу s степеней свободы механич. системы и к-рые однозначно определяют положение системы. Закон движения системы в О. к. даётся s ур-ниями вида qi=qi(t), где t - время. О. к. пользуются при решении мн. задач, особенно когда система подчинена связям, налагающим ограничения на её движение. При этом значительно уменьшается число ур-ний, описывающих движение системы, по сравнению, напр., с ур-ниями в декартовых координатах (см. ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ). В системах с бесконечно большим числом степеней свободы (сплошные среды, физ. поля) О. к. являются особые функции пространственных координат и времени, наз. потенциалами, волн. функциями и т. п.
В механике, степени свободы - это совокупность независимых координат перемещения и/или вращения, полностью определяющая положение системы или тела (а вместе с их производными по времени - соответствующими скоростями - полностью определяющая состояние механической системы или тела - то есть их положение и движение).
Число степеней свободы- это количество независимых перемещений, при котором состояние системы меняется!
Таким образом, обобщенной силой , соответствующей i-й обобщенной координате, называется величина, равная коэффициенту при вариации данной обобщенной координаты в выражении возможной работы сил, действующих на механическую систему.
В общем случае обобщенная сила является функцией обобщенных координат, скоростей точек системы и времени. Из определения следует, что обобщенная сила - скалярная величина, которая зависит от выбранных для данной механической системы обобщенных координат. Это значит, что при изменении набора обобщенных координат, определяющих положение данной системы, изменятся и обобщенные силы. Так, для диска радиусом r и массой m, который катится без скольжения по наклонной плоскости (рис. 18.8), за обобщенные координаты можно принять либо s - координата центра масс диска, либо "фи" - угол поворота диска.
4.1. Обобщенная сила системы с одной степенью свободы
Для системы с одной степенью свободы обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате q , называют величину, определяемую формулой
где q – малое приращение обобщенной координаты; – сумма элементарных работ сил системы на ее возможном перемещении.
Билет 21
Вопрос 1
Уравнения двухстепенного гироскопа.
Уравнения двухстепенного гироскопа получаются автоматически из полученных ранее уравнений трехстепенного гироскопа.
определяет движение двухстепенного гироскопа. Второе уравнение описывает движение корпуса, на котором установлен двухстепенной гироскоп.
Если (момент инерции) тела велик, а гироскопический момент мал, то уравнение (2) может вообще не учитываться и пользоваться только (1).
Гироскопический момент:
θ - угол нутации
ω 1 - угловая скорость собственного вращения
ω 2 - скорость прецессии
J z - момент инерции
Нутация - слабое нерегулярное движение вращающегося твёрдого тела, совершающего прецессию.
Прецессия - явление, при котором ось вращающегося объекта поворачивается, например, под действием внешних моментов.
Наблюдать прецессию достаточно просто. Достаточно запустить волчок и подождать, пока он начнёт замедляться. Первоначально ось вращения волчка вертикальна. Затем его верхняя точка постепенно опускается и движется по расходящейся спирали. Это и есть прецессия оси волчка.
Правило Жуковского: Если гироскопу сообщают вынужденное прецессионное движение, то возникает гироскопическая пара сил, стремящаяся сделать ось гироскопа параллельной оси симметрии, причем так, чтобы направления вращения стали одинаковыми после их совпадения.
Вопрос 2
Если голономная механическая система описывается лагранжианом ( - обобщённые координаты, t - время, точкой обозначено дифференцирование по времени) и в системе действуют только потенциальные силы, то уравнения Лагранжа второго рода имеют вид
где i = 1, 2, … n (n - число степеней свободы механической системы). Лагранжиан представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий системы.
Если в системе действуют непотенциальные силы (например, силы трения), уравнения Лагранжа второго рода имеют вид
где - кинетическая энергия системы, - обобщённая сила.
По сравнению с ур-ниями в декартовых координатах (см., напр., ур-ния Лагранжа 1-го рода) ур-ния (3) обладают тем важным преимуществом, что число их равно числу степеней свободы системы и не зависит от кол-ва входящих в систему материальных частиц или тел; кроме того, при идеальных связях из ур-ний (3) автоматически исключаются все наперёд неизвестные реакции связей. Л. у. 2-го рода, дающими весьма общий и притом достаточно простой метод решения задач, широко пользуются для изучения движения разл. механич. систем, в частности в динамике механизмов и машин, в теории гироскопа ,в теории колебаний и др.
Билет 22
Кинетический момент точки и механической системы
Рис. 3.14
Одной из динамических характеристик движения материальной точки и механической системы является кинетический момент или момент количества движения.
Для материальной точки кинетическим моментом относительно какого–либо центра О называют момент количества движения точки относительно этого центра (рис. 3.14),
Кинетическим моментом материальной точки относительно оси называется проекция на эту ось кинетического момента точки относительно любого центра на этой оси:
Кинетическим моментом механической системы относительно центра О называется геометрическая сумма кинетических моментов всех точек системы относительно того же центра (рис. 3.15):
(3.20)
Кинетический момент приложен к точке О , относительно которой он вычисляется.
Если спроецировать (3.20) на оси декартовой системы координат, то получим проекции кинетического момента на эти оси, или кинетические моменты относительно осей координат:
Определим кинетический момент тела относительно его неподвижной оси вращения z (рис. 3.16).
Согласно формулам (3.21), имеем
Но при вращении тела с угловой скоростью w скорость 
причем количество движения точки 
перпендикулярно отрезку d k
и лежит в плоскости перпендикулярной оси вращения Oz
, следовательно,
| Рис. 3.15 | Рис. 3.16 |
Для всего тела:
где J z – момент инерции относительно оси вращения.
Следовательно, кинетический момент твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно данной оси на угловую скорость тела.
2. Теорема об изменении кинетического момента
механической системы
Кинетический момент системы относительно неподвижного центра O (рис. 3.15)
Возьмем от левой и правой части этого равенства производную по времени:
(3.22)
Учтем, что 
тогда выражение (3.22) примет вид
Или, с учетом того, что 
– сумма моментов внешних сил относительно центра O , окончательно имеем:
(3.23)
Равенство (3.23) выражает теорему об изменении кинетического момента.
Теорема об изменении кинетического момента. Производная по времени от кинетического момента механической системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра.
Спроектировав равенство (3.23) на неподвижные оси декартовых координат, получим запись теоремы в проекциях на эти оси:
Из (3.23) следует, что если главный момент внешних сил относительно какого-либо неподвижного центра равен нулю, то кинетический момент относительно этого центра остается постоянным, т.е. если
(3.24)
Если же сумма моментов внешних сил системы относительно какой–либо неподвижной оси равна нулю, то соответствующая проекция кинетического момента остается постоянной,
(3.25)
Утверждения (3.24) и (3.25) представляют собой закон сохранения кинетического момента системы.
Получим теорему об изменении кинетического момента системы, выбрав в качестве точки при вычислении кинетического момента точку A , движущуюся относительно инерциальной системы отсчета со скоростью
Кинетический момент системы относительно точки A (рис. 3.17)
| Рис. 3.17 |
так как 
то
Учитывая, что 
где – скорость центра масс системы, получаем
Вычислим производную по времени от кинетического момента
В полученном выражении:
Объединяя второе и третье слагаемое, и учитывая, что 
окончательно получаем
Если точка совпадает с центром масс системы C
, то 
и теорема принимает вид
т.е. она имеет ту же форму, что и для неподвижной точки О .
3. Дифференциальное уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси
Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Az
(рис. 3.18) под действием системы внешних сил 
Запишем уравнение теоремы об изменении кинетического момента системы в проекции на ось вращения:
| Рис. 3.18 |
Для случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси:
где J z – постоянный момент инерции относительно оси вращения; w – угловая скорость.
Учитывая это, получаем:
Если ввести угол поворота тела j, то, учитывая равенство 
имеем
(3.26)
Выражение (3.26) есть дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.
4. Теорема об изменении кинетического момента системы
в относительном движении по отношению к центру масс
Для исследования механической системы выберем неподвижную систему координат Ox 1 y 1 z 1 и подвижную Cxyz с началом в центре масс C , движущуюся поступательно (рис. 3.19).
Из векторного треугольника:
| Рис. 3.19 |
Дифференцируя это равенство по времени, получаем
или 
где – абсолютная скорость точки M k
, - абсолютная скорость центра масс С
, 
- относительная скорость точки M k
, т.к. 
Кинетический момент относительно точки О
Подставляя значения и , получим
В этом выражении: 
– масса системы; 
; 
– кинетический момент системы относительно центра масс для относительного движения в системе координат Сxyz
.
Кинетический момент принимает вид
Теорема об изменении кинетического момента относительно точки О имеет вид
Подставим значения и 
получим
Преобразуем это выражение с учетом, что
или 
Эта формула выражает теорему об изменении кинетического момента системы относительно центра масс для относительного движения системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно с центром масс. Она формулируется так же, как если бы центр масс был неподвижной точкой.
